动态规划(Dynamic Programming)

  algorithm       2014-07-24

说明: 本文翻译自TopCoder上的一篇文章: Dynamic Programming: From novice to advanced ,并非严格逐字逐句翻译,加入了自己的一些理解。水平有限,还望指正。

一、什么是动态规划,我们要如何描述它?

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。 当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度, 因此它比回溯法、暴力法等要快许多。

现在让我们通过一个例子来了解一下DP的基本原理。

首先,我们要找到某个状态的最优解,然后在它的帮助下,找到下一个状态的最优解。

“状态”代表什么及如何找到它?

“状态"用来描述该问题的子问题的解。原文中有两段作者阐述得不太清楚,跳过直接上例子。

如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚,如何用最少的硬币凑够11元? (表面上这道题可以用贪心算法,但贪心算法无法保证可以求出解,比如1元换成2元的时候)

首先我们思考一个问题,如何用最少的硬币凑够i元(i<11)?为什么要这么问呢? 两个原因:1.当我们遇到一个大问题时,总是习惯把问题的规模变小,这样便于分析讨论。 2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的,除了规模变小,其它的都是一样的, 本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。

好了,让我们从最小的i开始吧。当i=0,即我们需要多少个硬币来凑够0元。 由于1,3,5都大于0,即没有比0小的币值,因此凑够0元我们最少需要0个硬币。 (这个分析很傻是不是?别着急,这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。) 这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。”会比较方便, 如果一直用纯文字来表述,不出一会儿你就会觉得很绕了。那么, 我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0, 表示凑够0元最小需要0个硬币。当i=1时,只有面值为1元的硬币可用, 因此我们拿起一个面值为1的硬币,接下来只需要凑够0元即可,而这个是已经知道答案的, 即d(0)=0。所以,d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。当i=2时, 仍然只有面值为1的硬币可用,于是我拿起一个面值为1的硬币, 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量),而这个答案也已经知道了。 所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到这里,你都可能会觉得,好无聊, 感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币!耐心点, 让我们看看i=3时的情况。当i=3时,我们能用的硬币就有两种了:1元的和3元的( 5元的仍然没用,因为你需要凑的数目是3元!5元太多了亲)。 既然能用的硬币有两种,我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币,我的目标就变为了: 凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 这个方案说的是,我拿3个1元的硬币;第二种方案是我拿起一个3元的硬币, 我的目标就变成:凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是,我拿1个3元的硬币。好了,这两种方案哪种更优呢? 记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以, 选择d(3)=1,怎么来的呢?具体是这样得到的:d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

OK,码了这么多字讲具体的东西,让我们来点抽象的。从以上的文字中, 我们要抽出动态规划里非常重要的两个概念:状态和状态转移方程。

上文中d(i)表示凑够i元需要的最少硬币数量,我们将它定义为该问题的"状态", 这个状态是怎么找出来的呢?我在另一篇文章 动态规划之背包问题(一)中写过: 根据子问题定义状态。你找到子问题,状态也就浮出水面了。 最终我们要求解的问题,可以用这个状态来表示:d(11),即凑够11元最少需要多少个硬币。 那状态转移方程是什么呢?既然我们用d(i)表示状态,那么状态转移方程自然包含d(i), 上文中包含状态d(i)的方程是:d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。没错, 它就是状态转移方程,描述状态之间是如何转移的。当然,我们要对它抽象一下,

d(i) = min{ d(i-vj)+1 },其中i-vj >=0,vj表示第j个硬币的面值;

有了状态和状态转移方程,这个问题基本上也就解决了。当然了,Talk is cheap,show me the code!

伪代码如下:

  1. Set Min[i] equal to Infinity for all of i
  2. Min[0]=0
  3. For i = 1 to S
  4. For j = 0 to N - 1
  5. If (Vj<=i AND Min[i-Vj]+1<Min[i])
  6. Then Min[i]=Min[i-Vj]+1
  7. Output Min[S]

To Be Continued...

本文最后更新于2014-07-24 08:26:55